Euklid von Alexandria (altgriechisch Εὐκλείδης Eukleídēs; latinisiert Euclides; lebte um 300 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker, der als einer der einflussreichsten Mathematiker aller Zeiten gilt. Er wird oft als „Vater der Geometrie“ bezeichnet und ist vor allem für sein monumentales Werk Die Elemente (Stoicheia) bekannt, das über zwei Jahrtausende lang als grundlegendes Lehrbuch der Mathematik diente. Euklid wirkte während der Herrschaft von Ptolemaios I. in Alexandria, dem intellektuellen Zentrum der hellenistischen Welt, wo er vermutlich am berühmten Museion lehrte. Obwohl über sein persönliches Leben nur wenig bekannt ist, haben seine mathematischen Werke die Entwicklung der Mathematik, Physik und Philosophie nachhaltig geprägt und bilden bis heute die Grundlage der elementaren Geometrie.
Historischer Kontext und Lebensumstände
Die Lebenszeit Euklids lässt sich nur ungefähr bestimmen. Über das Leben Euklids ist fast nichts bekannt. Die Lebensdaten sind unbekannt. Die Annahme, dass er um 300 v. Chr. gelebt hat, beruht auf einem Verzeichnis von Mathematikern bei Proklos, einem späteren griechischen Philosophen und Kommentator. Es gilt als sicher, dass er während der Regierungszeit von Pharao Ptolemaios I., einem ehemaligen General Alexander des Großen, in Alexandria gelebt und gelehrt hat.
Es wird heute allgemein anerkannt, dass er seine Karriere in Alexandria verbrachte und um 300 v. Chr. lebte, nach Platons Schülern und vor Archimedes. Man hat auch geschlossen, dass er um das Jahr 360 v. Chr. in Athen geboren wurde, dort seine Ausbildung an Platons Akademie erhielt und dann zur Zeit Ptolemaios I. in Alexandria wirkte. Alexandria war nach seiner Gründung durch Alexander den Großen im Jahr 331 v. Chr. zum intellektuellen Zentrum der hellenistischen Welt aufgestiegen. Ptolemäus I. begann einen Prozess der Hellenisierung und beauftragte zahlreiche Bauten, einschließlich des massiven Museions, das ein führendes Bildungszentrum war. Es wird spekuliert, dass Euklid an der Platonischen Akademie studierte und später am Museion lehrte; er gilt als Brücke zwischen der früheren platonischen Tradition in Athen und der späteren Tradition von Alexandria. Euklid wird spekuliert, einer der ersten Gelehrten des Museions gewesen zu sein.
Das mathematische Hauptwerk
Die ElementeDie Elemente (im Original Στοιχεῖα Stoicheia) sind eine Abhandlung des griechischen Mathematikers Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.), in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasst und systematisiert. Das Werk zeigt erstmals musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft, da die meisten Aussagen aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen werden. Dieses Vorgehen beeinflusste bis heute nicht nur die Mathematiker, sondern auch viele Physiker, Philosophen und Theologen bei ihrem Versuch, ihre Wissenschaft auf Axiomen aufzubauen.
Euklids Elemente bestanden ursprünglich aus 13 Büchern mit einer systematischen Gliederung der mathematischen Themen:
- Bücher I-IV: Bücher 1 bis 4 behandeln ebene Geometrie und führen von den elementaren Eigenschaften von Punkten, Linien und Winkeln unter anderem zum Satz des Pythagoras
- Bücher V-VI: Bücher 5 und 6 behandeln Proportionen und ähnliche Figuren
- Bücher VII-IX: Bücher 7 bis 9 sind der Arithmetik gewidmet, d.h. den Eigenschaften der natürlichen Zahlen
- Buch X: Buch 10 behandelt inkommensurable Größen, d.h. irrationale Zahlen
- Bücher XI-XIII: Bücher 11 bis 13 behandeln Raumgeometrie und die fünf regulären (platonischen) Körper
Viel von seinem Inhalt stammt von früheren Mathematikern, einschließlich Eudoxos, Hippokrates von Chios, Thales und Theaitetos, während Euklids Leistung darin besteht, akzeptiertes mathematisches Wissen in eine kohärente Ordnung zu bringen und neue Beweise hinzuzufügen, um die Lücken zu füllen.
Die Elemente wurden 2000 Jahre lang als akademisches Lehrbuch benutzt und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur. Über zweitausend Jahre lang wurde Geometrie nach diesem axiomatischen Aufbau gelehrt. Die Redewendung „more geometrico“ (lateinisch: „auf die Art der (euklidischen) Geometrie“) dient noch heute als Hinweis auf eine streng deduktive Argumentation.
Die axiomatische Methode und das Parallelenaxiom
Euklids axiomatische Methode war revolutionär für die Mathematik. Das Werk zeigt erstmals musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft, da die meisten Aussagen aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen werden. Dazu benutzte er Definitionen, Postulate (nach Aristoteles Grundsätze, die akzeptiert oder abgelehnt werden können) und Axiome (nach Aristoteles allgemeine und unbezweifelbare Grundsätze).
Besondere historische Bedeutung erlangte das fünfte Postulat, das sogenannte Parallelenaxiom. In moderner Formulierung besagt es, dass es zu jeder Geraden und jedem Punkt außerhalb dieser Geraden genau eine Parallele durch diesen Punkt gibt.
Dieses Postulat sticht durch seine Länge und Kompliziertheit aus den anderen Postulaten und Axiomen deutlich hervor. Es wurde schon im Altertum als Makel (unschönes Merkmal) in der Theorie des Euklid empfunden. Immer wieder gab es Versuche, es aus den anderen herzuleiten und damit zu zeigen, dass es für die Definition der euklidischen Geometrie entbehrlich ist. Historisch ist diese Aufgabe als das Parallelenproblem bekannt und blieb über 2000 Jahre lang ungelöst.
Carl Friedrich Gauß erkannte als erster, dass das Parallelenproblem grundsätzlich unlösbar ist; er veröffentlichte seine Erkenntnisse aber nicht. Nikolai Lobatschewski stellte als erster 1826 eine neuartige Geometrie vor, in der alle übrigen Axiome der euklidischen Geometrie gelten, das Parallelenaxiom jedoch nicht, die lobatschewskische oder hyperbolische Geometrie. Damit war bewiesen, dass das Parallelenaxiom sich nicht aus den übrigen Axiomen der euklidischen Geometrie herleiten lässt. János Bolyai gelangte unabhängig davon fast gleichzeitig zu ähnlichen Resultaten. Bernhard Riemann (1826 – 1866) fand später auch eine Geometrie, in der es gar keine Parallelen gibt. Aus Gründen, die hier nicht erklärt werden können, nannte Felix Klein (1849 – 1926) diese beiden Typen von nichteuklidischen Geometrien „hyperbolische“ und „elliptische“ Geometrie.
Diese Entwicklung hatte tiefgreifende Auswirkungen auf die Mathematik und Wissenschaftstheorie. So kam es zur Entwicklung der nichteuklidischen Geometrien, bei denen das Postulat entweder ganz gestrichen oder durch andere ersetzt wurde. Die Entdeckung, dass es mathematisch konsistente Alternativen zur euklidischen Geometrie gibt, revolutionierte das Verständnis von der Natur mathematischer Wahrheit.
Weitere mathematische Leistungen
Neben der Geometrie leistete Euklid bedeutende Beiträge zur Zahlentheorie. Number theory is covered by books 7 to 10, the former beginning with a set of 22 definitions for parity, prime numbers and other arithmetic-related concepts. Book 7 includes the Euclidean algorithm, a method for finding the greatest common divisor of two numbers. The 8th book discusses geometric progressions, while book 9 includes the proposition, now called Euclid’s theorem, that there are infinitely many prime numbers. Neben der pythagoreischen Geometrie enthalten Euklids Elemente in Buch VII-IX die pythagoreische Arithmetik, die Anfänge der Zahlentheorie (die bereits Archytas von Tarent kannte) sowie die Konzepte der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers. Zu dessen Bestimmung fand er einen Algorithmus, den euklidischen Algorithmus. Euklid bewies auch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nach ihm Satz des Euklid genannt.
Ferner enthält das Buch V die Proportionslehre des Eudoxos, eine Verallgemeinerung der Arithmetik auf positive irrationale Größen. Of the Elements, book 10 is by far the largest and most complex, dealing with irrational numbers in the context of magnitudes. Die Behandlung irrationaler Zahlen war für die damalige Zeit revolutionär und zeigte Euklids tiefes Verständnis mathematischer Konzepte.
Weitere Werke und wissenschaftliche Beiträge
Neben den Elementen verfasste Euklid weitere bedeutende Werke. Erhaltene Schriften von Euklid sind neben den Elementen, den Data und der Teilung des Kanons: die Optika, Über die Teilung der Figuren (auszugsweise erhalten in einer arabischen Übersetzung) sowie die Phainomena (geometrische Behandlung der Astronomie). He also wrote works on perspective, conic sections, spherical geometry, number theory, and mathematical rigour. In addition to the Elements, Euclid wrote a central early text in the optics field, Optics, and lesser-known works including Data and Phaenomena.
In der Optik behandelte Euklid die Gesetze der Perspektive und die geometrischen Eigenschaften des Sehens. Seine Arbeit in diesem Bereich war wegweisend für die spätere Entwicklung der geometrischen Optik. Auch Euklids Musiktheorie baut auf der Arithmetik auf. In seinem Werk „Teilung des Kanons“ (Sectio Canonis) untersuchte er die mathematischen Grundlagen der Musiktheorie.
Historische Bedeutung
Die Bedeutung Euklids für die Geschichte der Mathematik kann kaum überschätzt werden. Die Elemente wurden 2000 Jahre lang als akademisches Lehrbuch benutzt und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur. Mit seinen Elementen schuf Euklid das nach der Bibel einst am weitesten verbreitete Buch der Weltliteratur.
Dieses Vorgehen beeinflusste bis heute nicht nur die Mathematiker, sondern auch viele Physiker, Philosophen und Theologen bei ihrem Versuch, ihre Wissenschaft auf Axiomen aufzubauen. Die axiomatische Methode Euklids wurde zum Vorbild für wissenschaftliches Denken schlechthin. Philosophen wie Spinoza versuchten, ihre Systeme „more geometrico“ – nach Art der Geometrie – aufzubauen.
Für die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschäftigung mit dem Parallelenaxiom von großer Bedeutung, weil sie viel zur Präzisierung von mathematischen Begriffen und Beweisverfahren beigetragen hat. Im Zuge dessen wurde im 19. Jahrhundert auch die Unzulänglichkeit der euklidischen Axiome offenkundig. Eine formale Axiomatik der euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk Grundlagen der Geometrie (1899), das den modernen Standard für axiomatische Systeme setzte.
Die Strenge und Systematik von Euklids Werk prägten die mathematische Methodik nachhaltig. Die Strenge der Vorgehensweise in seinem Werk wurde zum Vorbild für nachfolgende Mathematiker und Naturwissenschaftler. sein besonderes Verdienst aber ist es, die Erkenntnisse seiner Vorgänger (vor allem die der Pythagoräer sowie von Eudoxos von Knidos und Theaitetos) in genialer Weise geordnet und zusammengestellt zu haben.
Fazit
Euklid von Alexandria steht als monumentale Figur am Beginn der systematischen Mathematik. Obwohl über sein persönliches Leben wenig bekannt ist, haben seine Werke die Entwicklung der Mathematik und des wissenschaftlichen Denkens über zwei Jahrtausende geprägt. Seine axiomatische Methode, die strenge logische Herleitung mathematischer Sätze aus wenigen grundlegenden Annahmen, wurde zum Goldstandard wissenschaftlicher Methodik.
Die Elemente blieben bis ins 19. Jahrhundert das grundlegende Lehrbuch der Geometrie und prägten Generationen von Mathematikern, Naturwissenschaftlern und Philosophen. Die Auseinandersetzung mit dem Parallelenaxiom führte schließlich zur Entwicklung der nichteuklidischen Geometrien und revolutionierte unser Verständnis von der Natur mathematischer Wahrheit.
Euklids Vermächtnis reicht weit über die Mathematik hinaus. Seine Methode des systematischen, logischen Aufbaus einer Wissenschaft aus grundlegenden Prinzipien beeinflusste die Entwicklung der modernen Wissenschaft und Philosophie nachhaltig. In einer Zeit, in der Alexandria als Schmelztiegel verschiedener Kulturen und Wissenstraditionen fungierte, schuf Euklid ein Werk von universeller Gültigkeit, das die Grenzen von Zeit und Kultur überschreitet.
Quellen:
- Die Elemente des Euklid – Übersetzung von Clemens Thaer, Harri Deutsch Verlag
https://de.wikipedia.org/wiki/Elemente_(Euklid) - Spektrum der Wissenschaft: Euklid von Alexandria
https://www.spektrum.de/wissen/euklid-um-300-v-chr/1024565 - David Hilbert: Grundlagen der Geometrie (1899)
Das wegweisende Werk zur modernen Axiomatisierung der euklidischen Geometrie
